Ich würde wie folgt vorgehen:
Neue SSD einbauen.
2. Server von einem Live-System von 20.04 starten.
3. Per lsblk schauen, als welches Gerät sie erkannt wird (vermutlich sde), per Gparted eine Partition darauf anlegen für / und das Boot-Flag setzen (Markierung bearbeiten). Optional etwas Platz lassen für eine swap-Partition oder diese auch gleich anlegen. Evtl. ist hier dann ein Neustart erforderlich.
4. fsarchiver ins Livesystem installieren (Paketquelle universe, diese ggf. voher aktivieren)
sudo apt-get install fsarchiver
5. 2 Ordner unterhalb /mnt anlegen
sudo mkdir -pv /mnt backuppartition && sudo mkdir -pv /mnt/ssdpartition
6. Deine jetzige Backup-Partition /dev/sdb5 ins Livesystem nach /mnt/backuppartition mounten
sudo mount -v /dev/sdb5 /mnt/backuppartition
7. Die Systempartition dorthin in eine Datei sichern:
sudo fsarchiver savefs /mnt/backuppartition/sda1.fsa /dev/sda1 --verbose
8. Dann das ganze wieder rückwarts auf die angelegte SSD-Partition zurückspielen (hier im Beispiel /dev/sde1, bitte vorher unbedingt kontrollieren!) :
sudo fsarchiver restfs /mnt/backuppartition/sda1.fsa id=0,dest=/dev/sde1 --verbose
9. Die Backuppartition aushängen
sudo umount -v /dev/sdb5
10. Die neue SSD-Partition einhängen
sudo mount -v /dev/sde1 /mnt/ssdpartition
11. Grub in den MBR der SSD-Platte installieren
sudo grub-install --boot-directory=/mnt/ssdpartition/boot /dev/sde
12. Die UUID der SSD-Partition ermitteln
lsblk -l -o name,size,fstype,uuid
13. Die UUID der SSD-Partition in die fstab auf der neuen Partition eintragen mittels
sudo nano /mnt/ssdpartition/etc/fstab
14. Herunterfahren, alte Boot-Platte mit neuer SSD ersetzen und neu starten.
Bitte vor dem Absetzen der Befehle die genauen Partitionsbezeichnungen kontrollieren. Wenn du unsicher bist, klemme immer alle für den nächsten Schritt nicht benötigten Platten ab. Dann hast du schlimmstenfalls ein paar Neustarts mehr, dafür weniger Risiko eines Datenverlustes.
Für das Partitionieren der SSD (Schritt 3) benötigst du zwingend nur dieselbe und ein Livesystem.
Zum Erstellen des fsarchiver-Backups (Schritte 5-7) benötigst du deine jetzige Boot-Platte als Quelle und ein ausreichend großes Backup-Medium als Ziel. Die Datei sda1.fsa dürfte bei den momentan belegten 46 GB sogar auf einen 32GB-USB-Stick passen, da komprimiert wird. Ansonsten wie oben beschrieben die jetzige Backup-Partition als Backup-Ziel einbinden.
Zum Rückspielen der sda1.fsa (Schritte 8) und und das Anpassen der Boot-Umgebung (Schritte 9-12) benötigst du die SSD als Ziel und das verwendete Backup-Medium als Quelle.
Mehr Informationen über die Syntax von fsarchiver gibts im Wiki-Artikel fsarchiver (Abschnitt „Verwendung“) und per
fsarchiver --help
PS: Vermutlich ginge die ganze Aktion sogar "in einem Rutsch", wenn du im Livesystem die Daten per
sudo cp --verbose --recursive --preserve=all quelle ziel
von einer eingebundenen /dev/sda1 auf die ebenfalls eingebundene /dev/sde1 kopierst. Hab ich aber so noch nie gemacht. Grub mußt du auf jeden Fall installieren.