So, für mich habe ich das Problem gelöst. Es ging allein um das Passwort.
Das Passwort, nach dessen Bekanntgabe ich nach der Installation von MySQL gefragt worden bin, wurde für keinen der in Frage kommenden Benutzernamen (inkl. root) akzeptiert. (Auch gar kein Passwort einzugeben (bzw. während der Abfrage einfach "Enter" zu drücken) sowie das -p einfach wegzulassen hat nicht funktioniert. Das sei nur erwähnt, weil es für "root" zu Beginn angeblich gar kein Passwort gibt.)
Ich weiß mittlerweile nicht mehr, von welchem Programm ich danach gefragt worden bin. Auf jeden Fall habe ich jetzt über den mysql-Client intern das Passwort für root neu definiert. Wie, das werde ich im Folgenden kurz beschreiben:
Es gibt in MySQL einen vordefinierten Benutzer, der allen anderen - also auch "root" - quasi übergeordnet ist. Über diesen Benutzer verrichtet MySQL verschiedene (sämtliche?) Arbeiten. Wenn man sich mit diesem Benutzernamen selbst anmeldet, kann man ebenso wie als "root" administrative Aufgaben erledigen - mit dem Unterschied, dass man auch über "root" die Kontrolle hat. So kann man unter anderem eben das Passwort für root definieren, ohne das alte zu kennen.
Dieser Benutzer heißt (auch unter Ubuntu) "debian-sys-maint".
Das Passwort für diesen Benutzer steht in der Datei /etc/mysql/debian.cnf, auf die man wahrscheinlich nur als Admin oder Superuser Zugriff hat.
Also eventuell mit
sudo nautilus
Superuser werden und nach der Datei browsen.
Dann wie üblich beim mysql-Client mit den nun bekannten Benutzerdaten anmelden (aus Sicherheitsgründen würde ich das Passwort nur nach Abfrage eingeben - also nicht direkt an das -p anhängen):
$ mysql -u debian-sys-maint -h localhost -p
Enter Password:
Welcome to the MySQL monitor. Commands end with ; or \g.
Jetzt wird das root-Passwort eingestellt:
mysql> USE mysql;
Reading table information for completion of table and column names
You can turn off this feature to get a quicker startup with -A
Database changed
mysql> UPDATE user SET Password=PASSWORD('neues_Passwort') WHERE User='root';
Query OK, 3 rows affected (0.24 sec)
Rows matched: 3 Changed: 3 Warnings: 0
mysql> FLUSH PRIVILEGES;
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)
mysql> exit
Bye
Und fertig! 👍
Nun kann man sich als root mit dem neuen Passwort anmelden.
Ich vermute, dass das Problem in meinem Fall möglicherweise damit zusammenhing, dass ich bei der erstmaligen Bekanntgabe des Passworts Sonderzeichen verwendet habe, die vielleicht nicht unterstützt werden. Vielleicht gibt es da zwischen dem Fenster, das danach gefragt hat und dem Client ein kleines Übersetzungsproblem, oder man hat die Überprüfung einfach verbockt. Ist aber nur eine kleine Theorie ☺
