Dann solltest Du für das SSH die Anmeldung per passwortlosen SSH-Schlüssel einrichten:
SSH (Abschnitt „Authentifizierung-ueber-Public-Keys“).
Und dann noch möglichst den Zugriff für den Schlüssel auf das eine Skript beschränken (durch einen entsprechenden Eintrag in der authorized_keys Datei).
Also
1. Neues Schlüsselpaar erzeugen
2. Dann mit ssh-copy-id den öffentlichen Schlüssel auf den Zielrechner kopieren
3. Testen, ob das Login ohne Passwort funktioniert
4. In der .ssh/authorized_keys auf dem Zielrechner so etwas eintragen:
command="/pfad/zum/script",no-agent-forwarding,no-port-forwarding,no-pty,no-user-rc,no-X11-forwarding,from="1.1.1.1" ssh-rsa AAAAB3NzaC1yc2EAAAABIwAAAYEAmpIisFD5KAbx2skfLDYPi9RhdUH2FFcUBw6SC6g8DzvIt416im3nzYGLJ3t4px8cW1zkjORXfdKAOx0Z4Zqfhk1OZ8TCYKVcG+6cXQuTf1a1RmngvWIKPHV6rHU8CCiQY/T6VsvEIdTNIMKICR
Wenn Du Dich dann wieder mit dem neu erzeugten SSH-Schlüssel verbindest, wird einfach nur das Skript ausgeführt.